二次函数思维导图

二次函数的定义：

1.一般地，如果y=ax^2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数.特别地，当a≠0，b=c=0时，y=ax^2是二次函数的特殊形式。

2.二次函数的三种基本形式：

(1)一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0);

(2)顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k);

(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标。

二、二次函数的图象和性质：

 

二次函数思维导图　　二次函数的图像和性质

三、二次函数 y=ax^2+bx+c(a ≠ 0)的图象特征与系数a，b，c的关系：

 

二次函数思维导图　　图像特征与系数 a，b，c 的关系

四、二次函数图象的平移：

任意抛物线 y=a(x-h)^2+k 可以由抛物线y=ax^2 经过平移得到，具体平移方法如下：

 

二次函数思维导图　　二次函数图象的平移

五、二次函数表达式的求法:

1.一般式：y=ax2+bx+c (a≠ 0)

若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值。

2.顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)

若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式 y=a(x-h)^2+k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式。

3.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式。

六、二次函数与一元二次方程的关系:

二次函数 y=ax^2+bx+ c的图象和x轴交点有三种情况:

有两个交点,有一个交点,没有交点;

当二次函数y=ax^2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,

即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

 

二次函数思维导图　　二次函数与一元二次方程的关系

七、二次函数的应用：

1.二次函数的应用包括以下两个方面：

(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题);

(2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根及一元二次不等式的解集。

2.一般步骤：

(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系;

(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围;

(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题;

(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义。